Συντάχθηκε 30-09-2024 14:05
Τόπος:
Σύνδεσμος τηλεδιάσκεψης
Έναρξη: 08/10/2024 11:00
Λήξη: 08/10/2024 12:00
ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Πρόγραμμα Προπτυχιακών Σπουδών
ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ
Γιάννη Γρηγορίου
με θέμα
Γεωμετρία και Πιθανότητες
Geometry and Probabilities
Εξεταστική Επιτροπή
Αναπληρωτής Καθηγητής Μίνως Πετράκης (επιβλέπων)
Καθηγητής Διονύσιος Χριστόπουλος
Αναπληρωτής Καθηγητής Τρύφων Δάρας (Σχολή ΧΗΜΗΠΕΡ)
Περίληψη
Στην διπλωματική εργασία παρουσιάζεται η γεωμετρική πιθανότητα, η γεωμετρία της νόρμας και η θεωρία των Martingales. Είναι τρεις τομείς που συνδυάζουν την κλασική θεωρία των πιθανοτήτων με μαθηματικές και γεωμετρικές έννοιες.
Η γεωμετρική πιθανότητα είναι συνεπακόλουθο της ανάγκης για κατανόηση τυχαίων γεγονότων, με κυριότερο σταθμό το πρόβλημα του Buffon, με το οποίο ενσωματώθηκαν οι γεωμετρικές παράμετροι στις θεωρίες πιθανοτήτων. Στη συνέχεια βλέπουμε πως δια μέσου του έργου των Pierre de Fermat και Blaise Pascal, προέκυψε ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας, ο οποίος συνέβαλε στην εξέλιξη του πεδίου.
Η γεωμετρία της νόρμας είναι ένα άλλο σημαντικό κομμάτι μελέτης που εξετάζεται στην εργασία. Με την γεωμετρία της Νόρμας συνδυάζουμε την καθημερινή εμπειρία της απόστασης με την αφηρημένη μαθηματική σκέψη, ενώ οι έννοιες των μετρικών χώρων και των αποστάσεων συνόλων αναλύονται λεπτομερώς μέσω παραδειγμάτων στον Ευκλείδειο χώρο δίνοντας μας καλύτερη κατανόηση του πεδίου.
Επιπλέον, βλέπουμε τη θεωρία των Martingales να παρουσιάζεται ως ένα ισχυρό εργαλείο της μαθηματικής ανάλυσης, με προέλευση από στρατηγικές τυχερών παιχνιδιών. Με την χρήση των Martingales εξετάζουμε αλληλουχίες τυχαίων μεταβλητών και βρίσκουμε εφαρμογές σε διάφορα πεδία, όπως η οικονομία και η επιστήμη των υπολογιστών και είναι πολύ μεγάλη η συνεισφορά τους στη λήψη κρίσιμων αποφάσεων. Εξετάζονται εφαρμογές όπως η προσομοίωση τιμής μετοχής και η ανίχνευση ανωμαλιών σε χρονοσειρές, οι οποίες παρουσιάζονται με την χρήση της γλώσσας προγραμματισμού Python. Τέλος, στην εργασία επισημαίνονται οι προοπτικές της στοχαστικής ανάλυσης και της τεχνητής νοημοσύνης για μελλοντική έρευνα.
Abstract
This thesis introduces three main areas: geometric probability, norm geometry, and Martingales' theory. These areas combine classical probability theory with mathematical and geometrical concepts.
Geometric probability is the result of the need to understand random events, with Buffon's problem being a major milestone. This problem integrated geometric parameters into probability theory. The classical definition of probability emerged through the work of Pierre de Fermat and Blaise Pascal, contributing to the development of the field.
Norm geometry is another important area addressed in the paper. It combines everyday experiences of distance with abstract mathematical thinking. The concepts of metric spaces and set distances are analyzed in detail, with examples in Euclidean space to provide a better understanding of the field.
The theory of Martingales is presented as a powerful tool of mathematical analysis, originating from gambling strategies. Martingales are used to examine sequences of random variables and find applications in various fields such as economics and computer science. Applications, such as stock price simulation and anomaly detection in time series, are presented using the Python programming language. The paper also highlights the perspectives of stochastic analysis and artificial intelligence for future research.
