Συντάχθηκε 05-12-2013 16:46
από Dimosthenis Ellinas
Email συντάκτη: dellinas<στο>tuc.gr
Ενημερώθηκε:
05-12-2013 16:49
Ιδιότητα: ΔΕΠ ΗΜΜΥ.
Πολυτεχνείο Κρήτης
Παρουσίαση Διατριβής Μ.Δ.Ε.
Μεταπτυχιακού φοιτητή Γεώργιου Μουτζιάνου
Θέμα: Κβαντικός Περίπατος στο σύνολο Ακεραίων και Παραμετρική Εκτίμηση Μέγιστης Πιθανοφάνειας
Ημέρα : Τετάρτη 11/12/2013
Ώρα : 13:00
Χώρος : Αίθουσα 2041 (εξωτ. Κτηρίου Επιστημών)
Τριμελής Εξεταστική Επιτροπή
Δ. Έλληνας, Καθηγητής ΗΜΜΥ (επιβλέπων)
Δ. Αγγελάκης, Επικ. Καθηγητής ΗΜΜΥ
Α. Δόλλας, Καθηγητής ΗΜΜΥ
Περίληψη
Η Κλασσική Στατιστική και η Κβαντομηχανική είναι δύο σημαντικά ερευνητικά πεδία των μαθηματικών και των φυσικών επιστημών. Δημιουργούμε ένα μείγμα αυτών των πεδίων έρευνας διατυπώνοντας ένα νέο αλγόριθμο προσδιορισμού ενός άγνωστου πίνακα εκτιμώντας τις τιμές μίας παραμέτρου από την οποία τα στοιχεία του πίνακα έχει υποτεθεί ότι καθορίζονται. Τα κύρια συστατικά του αλγορίθμου προέρχονται από τη θεωρία της στατιστικής παραμετρικής εκτίμησης και από τη θεωρία των κβαντικών τυχαίων περιπάτων. Μεταξύ των διαφόρων μεθοδολογιών που χρησιμοποιούνται στη θεωρία παραμετρικής εκτίμησης π.χ. τις μεθόδους των ροπών, την μέθοδο του Bayes και την εκτίμηση μεγίστης πιθανοφάνειας, επιλέγεται η τελευταία σε συνδυασμό με το φορμαλισμό του κβαντικού περιπάτου στο σύνολο των ακεραίων, προκειμένου να επιλυθεί το πρόβλημα της εκτίμησης. Ο κβαντικός περίπατος εισέρχεται στον αλγόριθμο εκτίμησης μέσω του λεγόμενου πίνακα ανακατώματος ο οποίος δρα στο χώρο Hilbert του "κβαντικού νομίσματος". Χρησιμοποιώντας στοιχεία από τη θεωρία αναπαραστάσεων της άλγεβρας Lie ISO(2) (γνωστής και ως Ευκλείδειας Άλγεβρας), από το φορμαλισμό των Πλήρως Θετικών Ιχνοδιατηρητικών Απεικονίσεων πινάκων, καθώς και από τη βασική θεωρία των πολυωνύμων Chebyshev, επιλύεται αναλυτικά το πρόβλημα προσδιορισμού της στατιστικής κατανομής θέσεων σε πεπερασμένα βήματα του κβαντικού περιπάτου. Κατασκευάζοντας και υπολογίζοντας το ανάλογο των κβαντικών στατιστικών ροπών για τον τελεστή θέσης του περιπατητή, και εισάγοντας υποθέσεις απλοποίησης στη μορφή κλειστών μονοπατιών για τον περιπατητή, καταλήγουμε στη συνάρτηση πιθανοφάνειας. Εφαρμόζοντας τη συνθήκη μεγίστης πιθανοφάνειας, τελικά οδηγούμαστε στην επιβεβαίωση βέλτιστων διαστημάτων τιμών για την ζητούμενη παραμετρική εκτίμηση.
Title: Quantum Walk on Integers and Maximum Likelihood Parametric Estimation
G. Moutzianou
Abstract
Classical statistics and quantum mechanics are two important research fields of mathematics and natural sciences. We make a blend of these by creating a novel algorithm for the determination of an unknown matrix, by estimating the values of a single parameter from which the matrix elements are assumed to be determined. Basics of statistical parametric estimation theory and theory of quantum walks (QWs) are the main ingredients of the method. Among the various methodologies employed in parametric estimation theory e.g. the methods of moments, the Bayesian methodology and maximum likelihood estimation, we choose the latter one to combine with the formalism of QW on integers in order to accomplish the task of estimation. The QW enters in the estimation algorithm via its so called reshuffling matrix which operates in the "quantum coin" Hilbert space. Using elements from representation theory of the ISO(2) Lie algebra (a.k.a. Euclidean algebra), from the formalism of completely positive trace preserving maps, and from basic theory of Chebyshev polynomials, the dynamics of finite steps of QW is completely derived analytically. Constructing and evaluating the analogue of quantum statistical moments for the walker's position operator, and by introducing simplifying assumptions in the form of closed paths for QWer, we end up with the likelihood function. Imposing the maximum likelihood condition, finally leads to validation of value intervals for the solicited parametric estimation.
